1.
一位观众和一位主持人在进行一个游戏，现在给定20个箱子，其中5个有奖励而另外15个为空箱子。观众先选定一个箱子，然后主持人拿走一个空箱子，求此时观众更换箱子的获奖概率P。
以下给出一种正确解法：使用全概率公式，考虑观众选定的箱子为有奖励箱与空箱两种情况，此时有 $P=\frac{5}{20}\times\frac{4}{18}+\frac{15}{20}\times\frac{5}{18}=\frac{19}{72}$ 。
以下给出一种错误解法：假设主持人不知道箱子是否是空的，则此时获奖的概率等价于主持人在拿走的箱子是空的前提下观众更换箱子获奖的条件概率，此时有 $P=\frac{\frac{5}{20}\times\frac{15}{19}\times\frac{4}{18}+\frac{15}{20}\times\frac{14}{19}\times\frac{5}{18}}{\frac{5}{20}\times\frac{15}{19}+\frac{15}{20}\times\frac{14}{19}}=\frac{5}{19}$ 。
请说明这种解决方法的出错原因。
这种错误解法的核心出错原因在于：混淆了“主持人有意为之（必然事件）”与“主持人随机抽取（偶然事件）”对概率的影响。
这个问题是著名的“蒙提霍尔问题”（三门问题）的变种。我们可以从以下几个步骤来深入理解为什么错误解法是错的：
1. 主持人的行为是“既定规则”还是“随机事件”？
- 原题（正确解法）的隐含前提：作为游戏的主持人，他知道所有箱子里的物品，并且根据游戏规则，他必然会（有意地）挑出一个空箱子拿走。
- 错误解法的前提：假设主持人不知道箱子内容，从剩下的19个箱子中随机盲抽了一个，且这一个“恰巧”是空箱子。这在概率学中被称为“蒙提霍尔问题的随机变体”（Monty Fall）。
2. 为什么“随机抽取”会导致概率计算出错？
在正确解法中，因为主持人必然会拿走一个空箱子，所以“主持人拿走空箱子”这件事的概率是 $100\%$。它不会提供任何关于“观众最初选的箱子里到底有没有奖”的新信息。因此，观众首选箱子有奖的概率依然是先验概率 $\frac{5}{20}$，空箱的概率是 $\frac{15}{20}$。
但在错误解法中，如果主持人是随机拿的，那么他“恰好拿到空箱子”的概率就会受到观众最初选择的影响：
- 如果观众一开始选中了有奖箱，剩下19个箱子里有15个空箱，主持人盲抽抽到空箱的概率是 $\frac{15}{19}$。
- 如果观众一开始选中了空箱，剩下19个箱子里只有14个空箱，主持人盲抽抽到空箱的概率是 $\frac{14}{19}$。
因为 $\frac{15}{19} > \frac{14}{19}$，所以当“主持人随机抽且恰好抽到空箱”这个事件发生时，从条件概率（贝叶斯公式）的角度来看，它反向增加了“观众一开始选中有奖箱”的嫌疑。
你可以看到，错误解法公式的分母正是“主持人随机抽到空箱的全概率”：
而经过条件概率修正后，观众一开始选中的箱子是有奖箱的概率（后验概率）被错误地放大为了：
（注意，这已经不再是初始的 $\frac{5}{20}$ 了）。
3. 错误解法的等价物理意义
错误解法得出的 $\frac{5}{19}$，其物理意义其实等价于：
一共有20个箱子，其中5个有奖。某人不小心弄丢了一个空箱子，现在只剩下19个箱子了。此时你在这19个箱子里随便挑一个，中奖的概率是多少？
答案显然是 $\frac{5}{19}$。在这种“瞎猫碰上死耗子”的假设下，换不换箱子中奖率都是 $\frac{5}{19}$。
总结
错误解法的计算过程本身在数学上没有错，但它偷换了题目背景。
它将“主持人按照规则有意剔除一个错误选项”的必然行为，当成了“随机抽样且发生小概率事件”的条件概率来计算，从而错误地改变了观众手中箱子含有奖励的初始概率分配（从 $\frac{5}{20}$ 变成了 $\frac{5}{19}$），这就是该解法的出错原因。
